Áreas y Volúmenes
La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos que de lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física, y así la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. Lord Kelvin señalo que nuestro conocimiento es satisfactorio solamente cuando lo podemos expresar mediante números. Aunque esta afirmación es quizás exagerada, expresa una filosofía que un científico debe tener en mente todo el tiempo en sus investigaciones. La expresión de una propiedad física en términos de números requiere no solamente que utilicemos las matemáticas para mostrar las relaciones entre las diferentes cantidades, sino también tener el conocimiento para operar con estas relaciones. La matemática es la herramienta del científico; debe ser manipulada con destreza y cabalidad de modo que su uso ayude a comprender en lugar de oscurecer su trabajo.
Cantidades Fundamentales y Unidades:
Antes de efectuar una medición, debemos seleccionar una unidad para cada cantidad a medirse. Para propósitos de medición, hay cantidades fundamentales y derivadas, y unidades. El Científico reconoce tres cantidades fundamentales independientes: longitud, masa y tiempo. La longitud es un concepto primario y es una noción que todos adquirimos naturalmente; es inútil intentar dar una definición de ella. De igual manera lo es el tiempo. La masa es un coeficiente, característico de cada partícula que determina su comportamiento cuando interactúa con otras partículas así como la intensidad de sus interacciones gravitacionales. Los físicos se han puesto de acuerdo (en la onceava Conferencia General sobre pesos y medidas realizadas en Paris en 1960) para usar el sistema MKS. Las iniciales representan el metro, el kilogramo y el segundo. Sus definiciones son: El metro, abreviado m, es la unidad de longitud. El kilogramo, abreviado k, es la unidad de masa. El segundo, abreviado s, es la unidad de tiempo. En muchos países de habla inglesa se utiliza otro sistema de unidades, el cual es usado ampliamente en aplicaciones prácticas y de ingeniería. La unidad de longitud es el pie, abreviado ft, la unidad de masa es la libra, abreviado lb, y la unidad de tiempo es nuevamente el segundo.
Unidades Métricas Equivalentes son:
1 pie (ft) = 0,3048 m
1 m = 3,281 pie(ft)
1 libra(lb) = 0,4536 Kg
1 Kg = 2,205 libra(lb)
1 yarda (yd) = 0,9144 m
1 pulgada (pulg) = 2,54 cm
1 micra(µ) = 10-6 m
1 milla marina = 1852 m
1 milla terrestre = 1609,3 m
1 ángstrom (Å) =10-10 m
Transformación de Medidas:
El Sistema Métrico Decimal: tuvo su origen durante la Revolución Francesa pero el reconocimiento de su universalidad fué la firma de la Convención del Metro en el año 1875. Es el más práctico de los diferentes sistemas de numeración que están en uso y hay pocas naciones en el mundo que no lo empleen por lo menos en transacciones comerciales. Las unidades lineales aumentan o disminuyen de 10 en 10, las superficiales de 100 en 100 y las cúbicas de 1000 en 1000. Con ayuda del siguiente esquema, que contiene los múltiplos y submúltiplos de la unidad, vamos a hacer algunas transformaciones.
Según el esquema, para ir un puesto a la izquierda hay que dividir y para ir un puesto hacia la derecha hay que multiplicar. Cuando la unidad es lineal, cada puesto que se traslada se multiplica o divide por 10, cuando es superficial por 100 y cuando es cúbica por 1000.
Ejercicios Resueltos.-
Transformar cada una de las siguientes medidas:
24 kg a gr
286 mm a kilómetros
Las medidas que tenemos que transformar son lineales, por lo tanto aumentan y disminuyen de 10 en 10.
24·10·10·10 gr = 24·103gr = 24000 gramos
286(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)km = 286/(106)km = 286·10-6km = 0,000286 kilómetros.
Ejercicios Resueltos.-
Transformar cada una de las siguientes medidas:
5 m2 a cm2
24 cm2 a km2
Las medidas que tenemos que transformar son cuadradas, por lo tanto aumentan y disminuyen de 100 en 100.
5·100·100 cm2 = 5·104 cm2 = 50000 cm2
24·(1/102)·(1/102)·(1/102)·(1/102)·(1/102) km2 = 24/(1010) km2 = 24·10-10 km2 = 0,0000000024 km2
Ejercicios Resueltos.-
Transformar cada una de las siguientes medidas:
4 m3 a cm3
26 mm3 a m3
Las medidas que tenemos que transformar son cúbicas, por lo tanto aumentan y disminuyen de 1000 en 1000.
4·1000·1000 cm3 = 4·106 cm3 = 4000000 cm3
26·(1/103)·(1/103)·(1/103) m3 = 26/(109) m3 = 26·10-9 m3 = 0,000000026 m3
Ejercicios para Resolver.-
Transformar cada una de las siguientes medidas:
245 km a mm
164 kg a gr
25 litros a mililitros (1 litro = 1000 cm3)
26, 2 m2 a cm2
17, 5 km2 a dm2
0, 0084 m3 a cm3
14 cm3 a dm3
1483 mm3 a m3
1483 m3 a km3
0,000001 mm3 a m3
0,3030 m3 a dm3
Fórmulas Geométricas más usadas para calcular Superficies Y Volúmenes.
Superficies de algunas Figuras Geométricas.-
Volúmenes de algunas Figuras Geométricas.-
Las Ecuaciones
Igualdad: es la expresión matemática que determina que dos cantidades o expresiones matemáticas son iguales.
Ejemplo.- (a) 3 + 5 = 8 (b) 3x + y = 3 (c) 2x - 1/3 = 5y
Ecuación: es toda igualdad en que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, y que solamente se verifica para determinados valores de dichas incógnitas. Las incógnitas generalmente se representan por las ultimas letras del alfabeto x, y e z; a cada una de las expresiones separadas por el signo =, se le denomina miembro de la ecuación, siendo el primer miembro el que esta a la izquierda del signo = y segundo miembro, el que esta a la derecha. Se denominan términos, a cada una de las expresiones que están conectadas con los signos + ó -.
En la siguiente ecuación: 3x + 2y = 3y + ( 4x - 2 )/2 el primer miembro es: 3x + 2y ; el segundo término es: 3y + ( 4x - 2 )/2 ; las incógnitas: x e y ; los términos son: 3x ; 2y; 3y; ( 4x - 2 )/2. Resolver una ecuación, es determinar él o los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad. A estos valores de las incógnitas, se les denomina soluciones o raíces de la ecuación. Grado de una ecuación con una incógnita; es el mayor exponente que tiene la incógnita.
Ecuaciones Equivalentes: dos ecuaciones se denominan equivalentes, cuando tienen las mismas soluciones.
Identidad: es toda igualdad que se verifica para cualquier valor de las incógnitas. El desarrollo de los productos notables son identidades.
Resolución de Ecuaciones: para resolver ecuaciones; nos apoyamos en los siguientes principios: "Si a los miembros de una igualdad se les suma, resta, multiplica o divide por el mismo número, la igualdad no se altera." Una de las aplicaciones de las ecuaciones, consiste en la resolución de determinados problemas cuyo planteamiento da cómo origen una ecuación. La resolución de un problema con ayuda de una ecuación, consiste en su planteo y después en su resolución. No hay ningún procedimiento que permita traducir el enunciado a una ecuación, ya que es personal la forma de hacerlo. Procedimiento para la resolución de una ecuación: (1) Suprimimos signos de colección o agrupación. (2) Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación. (3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. (4) Despejamos la incógnita.
Ejercicios Resueltos.-
x+9=20; x=20-9; x=11; su conjunto solución es: {11}
20x-8=4x-4; 20x-4x=-4+8; 16x=4; x=4/16; x=1/4; su conjunto solución es: {1/4}
-(5x-2x)-1=8+(-x+7); -5x+2x-1=8-x+7; -5x+2x+x=8+7+1; -2x=16;
(-1)(-2x)=(-1)(16); 2x=-16; x=-16/2; x=-8; su conjunto solución {-8}
(x+2)(x-5)=x2+7x-50; x2-5x+2x-10=x2+7x-50; x2-5x+2x-x2-7x=-50+10;
-10x=-40; (-1)(-10x)=(-1)(-40); 10x=40; x=40/10; x=4; su conjunto solución: {4}
Cinco veces el valor de un número más su mitad, es igual a 22. Determine el número.
Sol.- 5x+x/2=22; (5+1/2)x=22; (11/2)x=22; x=22(2/11); x=4 por tanto el número es 4
La diferencia entre 21 y seis veces el valor de un número, es igual a la diferencia entre 27 y ocho veces el valor del número. Determinar él numero.
Sol.- 21-6x=27-8x; -6x+8x=27-21; 2x=6; x=6/2; x=3; por tanto el número buscado es 3
La suma de dos números es 30 y uno de ellos es el triple del otro menos 2. Hallar los números.
Sol.- x+y=30; x=3y-2 tenemos entonces (3y-2)+y=30; 3y-2+y=30; 4y=32; y=32/4; y=8 ahora x=3(8)-2; x=24-2; x=22 por tanto los números pedidos son 8 y 22
La suma de las edades de 3 personas es 57 años. La mayor, es diez años mayor que la menor; y la del medio cinco años menor que la mayor. Determinar las edades de cada persona.
Sol.- x: edad de la menor; x+10: edad de la mayor; (x+10)-5: edad de la del medio
x+[(x+10)-5]+(x+10)=57; x+x+10-5+x+10=57; x+x+x=57-10+5-10; 3x=42; x=14
Edad de la menor = x = 14 años
Edad de la del medio = (x+10)-5 = (14+10)-5 = 19 años
Edad de la mayor = x+10 = 14+10 = 24 años
Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales:
Por su solución:
Compatibles (con solución)
Determinados (una solución)
Indeterminados (infinitas soluciones)
Incompatibles (sin solución)
Por sus términos independientes:
Homogéneos (términos independientes nulos)
No Homogéneos (no todos los términos independientes son cero)
Ejercicios para Resolver.-
x4-6x3+11x2+96x-80 = 0
(x+8)/(x-1) - (x+4)/(x+1) = 12x/(x2-1)
(x+7)1/2 + (x-5)1/2 = (2x+18)1/2
x4 - 25x2 + 144 = 0
(x/7)+(21/(x+5)) = 47/7
x3 + 6x2 + 3x - 10 = 0
(54)1/3 + (250)1/3 - (16)1/3 =
3(5)1/42(25)1/410(15)1/4 =
(2(20)1/2-5)2 =
-(x5+1)2 =
(2/a3 - 3x)2 =
(1 + x/3)3 =
Soluciones:
x1 = 1; x2 = 4 ; x3 = - 4 ; x4 = - 5
x = 2
x1 = 9 ; x2 = - 11 (no valida)
x1 = 3; x2 = -3 ; x3 = 4 ; x4 = - 4
x1 = -2 ; x2 = 44
x1 = 1; x2 = -2 ; x3 = -5
6(2)1/3
300(3)1/4
105 - 40(5)1/2
- x10 - 1 - 2x5
4/a6 + 9x2 - 12x/a3
1 + x + x2/3 + x3/27
Resolución de Sistemas de Ecuaciones con dos Incógnitas.-
Un sistema está formado por dos semiecuaciones (arriba y abajo), que siempre debemos ordenar de forma que delante del igual siempre haya las dos letras y detrás el término independiente. Si ello no ocurre se hace la transposición de términos. Si aparecen fracciones se resuelven por el método del mínimo común múltiplo.
2x + 3y = 7 [A semiecuación de arriba]
4x - 5y = 3 [B semiecuación de abajo]
Método de Sustitución
Pasos a seguir:
Se despeja la x de la semiecuación de arriba (siempre positiva). El valor de la x despejada de la semiecuación de arriba se sustituye en la x de la semiecuación de abajo. Se resuelve la semiecuación de abajo como una ecuación de 1er grado cuya incógnita es y. El valor de la y obtenida se sustituye por la y de la semiecuación de arriba.
Método de Igualación
Pasos a seguir:
Se despeja la x de las dos semiecuaciones (siempre positivas). Como las x despejadas son las mismas se igualan los valores. Se resuelve la ecuación de 1er grado cuya incógnita es y que queda multiplicando en cruz para suprimir los denominadores. El valor de la y obtenida se sustituye en las dos x despejadas al principio y que por tanto tendrán el mismo valor.
Método de Reducción
Pasos a seguir:
Se multiplica el coeficiente (número de delante) de la x de la semiecuación de abajo por toda la semiecuación de arriba sin el signo y el coeficiente de la x de arriba por toda la semiecuación de abajo sin el signo. Quitamos paréntesis mediante la propiedad distributiva. Cambiamos los signos a conveniencia para poder tachar en caso de estar cambiados los signos pudiendo tachar se deja tal y como estaba. Se tachan las x y se suman miembro a miembro las y, que se despeja y hallamos su valor. Para hallar el valor de la x se repiten los pasos con los coeficientes de las y.
Ejercicios por Resolver.- (2 ecuaciones, 2 incógnitas)
2x + y = 6 ; 4x + 6y = 8
5x + 2y = 11 ; 3x - 7y = -18
x = 3 ; 2x + y =15
3x + 3y = 8 ; y = x
x - 2y = 16 ; x = 10 - y
3x + 5y = 43 ; y = x + 7
x = 2y - 5 ; 2x + 3y = 18
y = 4x ; x + 2y = 54
x - 2y = 5 ; x + 3y = 20
x + 5 = y ; 2x + 3y = 50
x + y = 8 ; 4x - 3y = -10
x + y = 1/2 ; 2x - 2y = 0
Ejercicios por Resolver.- (3 ecuaciones, 3 incógnitas)
Usando la Regla de Cramer
x + y + z = 6 ; x - y - z = -4 ; - x + y - z = -2 sol.- {1,2,3}
2x + 2y + z = 3/2 ; 2x - 2y - 2z = -1 ; x + y - z = 0 sol.- {0,1/2,1/2}
3x - y - 2z = 1 ; x + 2y + 3z = 4 ; x + z = 2 sol.- {1,0,1}
3x - 3y - 2z = 3/2 ; -2x - y - 3z = 10 ; x - y - z = 1 sol.- {-1,-1/2,-3/2}
x + y - z = 0 ; 4x + 2y + z = 1 ; 3x - y - 2z = 1 sol.- { 1/3,-2/9,1/9}
Los Logaritmos
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
Definición de Logaritmo: Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
Logax = b <=> ab = x
que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
Es la función inversa de la función exponencial. La operación Logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)
Propiedades:
Loga1 = 0
Logaa = 1
Logaax = x
aLogax = x
Loga(U·V) = LogaU + LogaV
Loga(U/V) = LogaU - LogaV
Loga(Un) = n·LogaU
Loga(U1/n) = (1/n)·LogaU
Logaritmos Decimales:
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
Log10x = Logx
Logaritmos Neperianos:
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.
Logex = Lnx
Cambio de Base:
LogaN = LogbdN / Logbda
donde bd es la basea deseada; normalmente las más usadas son: la base 10 o la base e; de la cual disponemos en las calculadoras científicas.
Antilogaritmo:
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
Logax = y <=> AntiL
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